11/02/2010

A prendre ou a laisser, hasard ?

Rien à voir avec le commodore 64 aujourd’hui.

Un ami m’a prêté sa cartouche DS " A prendre ou à laisser ". Vous avez tous vu cette émission à la télé au moins une fois non ?

Bon, les critiques sont assez négatives vis à vis de ce jeu qui finalement peut ressembler à un jeu de hasard complet. Mais après quelques parties, je me pose la question, seul le hasard entre t’il en jeu ?

Pour ceux qui ne connaissent pas, il s’agit d’un jeu télévisé, vingt quatre candidats à qui on distribue une " boite " fermée qui contient une somme qui varie de 0,01€ à un million d’euro. Les candidats ne connaissent évidemment pas le contenu de leur boite. Un candidat est tiré au sort, il devient " le " candidat du jour", rejoint l’animateur au centre de l’arène avec sa boite, et est chargé d’ouvrir les boites des autres candidats dont il perd le contenu. Il ouvre d’abord six boites, puis le " banquier" de l’émission l’appelle par téléphone et lui fait une proposition, parfois une somme, parfois un échange de boite avec un autre candidat toujours en jeu. Le candidat ouvre ensuite cinq boites, proposition, quatre boites, proposition. Le jeu se termine quand le candidat accepte une proposition ou qu’il ne reste plus que " sa boite en jeu ". Il gagne le contenu.

Voilà pour le résumé. Présenté comme ça, on peut se dire que le candidat à une chance sur 24 de remporter le million d’euro. En réalité, le plus souvent le candidat part " perdant " s’il se dit qu’il est venu pour ce million d’euro.

Bon je précise pour ceux qui passeraient par ici en recherche d’infos sur les calculs de probabilité que je n’y connais rien, donc ce que j’expose ici, ce sont " mes impressions ". Elles ne sont pas nécessairement vraies.

Ceci dit, un calcul rapide (addition des sommes contenues dans les boites, puis division par 24) permet de dire que l’espérance de gain tourne autour de 103.000€ pour la version DS. 59.000€ pour la version télévisée ou le contenu des boites varie suivant les émissions. On peut diviser ces sommes par deux puisque le candidat doit partager le gain avec un téléspectateur.

Le jeu DS possède un menu récapitulatif qui calcule les moyennes de gains sur les parties jouées; après 100 parties ma moyenne est de 99.000€. Assez proche de l’espérance théorique. Pour les émissions télévisées la moyenne des gains réels est de 63.000€ ; assez proche de la moyenne théorique aussi. Ce qui confirme donc le calcul.

Qu’en est-il de la chance théorique d’une sur 24 de gagner le million ? On pourrait la considérer comme réelle si le candidat n’aurait pas à prendre sa boite dès le départ, se contenterait d’ouvrir les boites et qu’il gagnerait le contenu de la dernière. Le fait de devoir prendre sa boite au départ et d’avoir la possibilité de changer sa boite en cours de jeu diminue cette probabilité. Imaginons qu’après avoir éliminé 11 boites le candidat change la sienne, et que la boite à 1 million est toujours en jeu, ses chances d’avoir la boite à 1 million retombent ; je ne pense pas qu'on puisse utiliser le calcul combinatoire ici (deux dés lancés ont une chance sur 36 de faire un "double six") puisque les tirages sont indépendants (si on lance un dé et qu'il tombe sur six, on a à ce moment là une chance sur six de faire un double six en lancant le deuxième dé). La, je ne suis pas du tout sur que ma supposition est correcte...

En regardant le tableau des gains possibles, on se rend compte qu’il n’y a pas douze grosses boites et douze petites comme la présentation tente de le faire croire, mais seulement six boites de valeur égales ou supérieure à l’espérance théorique de gain.

Une donnée importante, est que le banquier CONNAÎT le contenu de boites, on peut donc le considérer non pas comme un banquier, mais plutôt comme un assureur qui essaie de limiter les pertes de l’organisateur du jeu. Il utilisera donc le principe de calcul de l’espérance de gain restante pour calculer le montant de sa proposition par rapport à la valeur moyenne des boites restante.

On peut également imaginer que l’attitude du banquier va changer au cours du jeu, les propositions d’échange de boite en début de jeu seront à l’avantage du candidat ; En effet on peut considérer que ses chances de choisir une grosse boite seront plus élevées qu’au début puisque le choix s’est restreint (je pense qu’on appelle ça le " paradoxe de Monty Hall "). Par contre quand il ne restera plus que quelques boite, et si celle à 1 million est toujours en jeu, les propositions d’échange du banquier risquent de devenir plus " vicieuses ". En effet, si la boite à 1 million est bien celle du candidat, le banquier essayera de minimiser les pertes de la banque en faisant changer sa boite au joueur.

Par contre un autre paramètre entre en jeu vers la fin du tirage : l’audimat. Le but est que les téléspectateurs prennent aussi plaisir à voir gagner des candidats, donc pour autant que ce paramètre n’entre pas en conflit avec l’autre paramètre important  (éviter le gain du million), il faut aussi éviter que trop de candidats ne repartent avec des sommes ridicules. Donc quand la fin de partie approche et qu’il reste une ou deux boites ridicules et une ou deux boites qui constituent un gain raisonnable pour le candidat, mais aussi une perte moyenne raisonnable calculée pour le banquier, le banquier sera plus généreux avec le candidat, il lui proposera des sommes supérieures à l’espérance de gain du moment pour éviter qu’il ne reparte les mains vides tout en ayant limité la casse pour l’assureur de l’émission.

Tout ce qui précède est évidemment supposition.

Mais cela permet d’établir une tactique de jeu qui permettra d’éviter au candidat de repartir avec une boite à un centime dans la plupart des cas :

Démarrer l’émission en gardant en tête l’espérance de gain moyenne : 100.000€ pour la version DS.

Garder en tête qu’il n’y a que cinq boites qui sont supérieures a cette espérance.

Refuser les offres du banquier tant qu’elles restent inférieures à cette espérance.

Continuer à jouer tant qu’il reste plus d’une boite supérieure à l’espérance.

Accepter l’offre du banquier quand il n’y a plus qu’une seule boite supérieure a cette espérance.

Accepter les échanges de boites tant que leur nombre reste raisonnable

Refuser les échanges quand il reste peu de boites, sauf s’il reste de toutes petites boites, que le risque du banquier à disparu (boite à 1 million déjà ouverte) et possibilités maximale de gain raisonnable du point de vue du banquier.

Faire abstraction du côté émotionnel du choix (possibilité d’encore gagner le million).

Vous aurez tous remarqué que les candidats choisissent les boites qu'ils ouvrent ou pas sur base de numerologie ou des superstition; "je garde la boite 20 parce que c'est la date d'anniversaire de mon épouse", etc...

En theorie cette manière de proceder n'offre pas plus de chance que d'ouvrir les boites dans l'ordre logique: 1,2,3,etc... Mais ce n'est pas le cas. Respecter un ordre logique permettrait d'aider le banquier à prévoir la prochaine série d'ouvertures, et donc d'orienter ces propositions puiqu'il connaitrait le contenu des prochaines boites ouvertes.

Evidemment le calcul réel de probabilités avec autant de parametres (nombre de boites, possibilités d'échange dont le nombre n'est pas fixé, propositions et changement d'attitude du banquier) est quasiment impossible. Pour le "cas de Monty hall" par exemple avec seulement "trois boites" et une seule possibilité de changement, la theorie de Marylin Vos Savant (QI prouvé le plus élevé du monde) est contestée, malgré qu'elle ait été "prouvée" par les moyennes d'essais réels (calcul d'esperance à posteriori). C'est parce que ce paradoxe va à l'encontre de "l'intuition".

J’ai refait cent parties en respectant cette tactique et ma moyenne de gain a augmenté de 50.000€. Evidemment cette tactique possède un gros point négatif, c'est qu'elle rends à peu près impossible le gain du million.

Allez, si un mathématicien passe par-ci, je serais heureux d'en savoir plus...

10:42 Écrit par c64 dans rien à voir | Lien permanent | Commentaires (12) | Tags : a prendre ou a laisser, ds, probabilites, tactique |  Facebook | | |  del.icio.us | | Digg! Digg

Commentaires

Très intéressant comme article. Ca nous change des articles "rétro" classiques ... Il serait temps de créer un second blog avec tous ces articles "alternatifs" :)

Écrit par : Steph | 11/02/2010

... Add-0n:
Evidement, d'un point de vue émmotionel, il est difficile de respecter cette tactique si on joue vraiment pour des euros "non virtuel", tant que la boite à 1 million reste en jeu on se dit qu'on peut la gagner...et on la perd (5 gagnants sur 500 emissions). Le joueur se dit que le gain sera toujours raisonable par rapport à un jeu en casino par exemple, puisqu'il n'a rien misé pour participer. C'est oublier qu'il mise en réalité la seule chance qu'il aura dans sa vie de jouer pour une esperance theorique de 100.000€ et le joueur finit par mettre cette esperance en jeu contre une "non-probabilité" de gagner le million.
Autre chose, on sait que le banquier connait le contenu des boites, mais on ne sait pas si ces boites ont été distribuées au hasard ou au contraire en tenant compte d'une quelconque obligation "télévisuelle". On sait par exemple que dans les émissions ou apparait le public derrière l'animateur, les plus jolies filles sont placées derrière l'animateur, les "boudins" tout au fond. On a tous pu remarquer que la plupart des candidats etaient doté d'un physique très "télévisuel". On peut aussi remarquer (mais ici c'est une supposition) que souvent les "jolies" boites sont dans les mains des "jolis" candidats. Mais ce n'est pas vérifié...je pense quand même que ça ne ferait pas de tort aux candidats de commencer à éliminer les plus moches. Mais je le répète, c'est une impression.

Écrit par : c64 | 11/02/2010

Et Pour ceux que ce genre de "prise de tête" interresse, et si vous ne connaissez pas, après avoir jeté un oeil sur le "problème de mnty hall", qui malgré qu'il soit paradoxal d'un point de vue intuitif peut être prouvé par "tirages physique" ou informatique, jetez un oeil sur le "paradoxe de la Belle au bois dormant", qui lui ne peut être prouvé et sur lequel les mathematicien se cassent la tête...sans réussir à se mettre d'accord.

Écrit par : c64 | 11/02/2010

Et... Pour continuer sur le thème, dans les faits, les chances de gagner "le gros lot" sont en réalité d'une sur cent (nombre d'emission divisé par le nombre de gagnants) Tous ces gros gagnants ont gagné les 500.000€ quand l'emission ne proposait pas le million. L emillion, lui n'a jamais été gagné, le plus gros gain est de 620.000€ sur offre du banquier. C'est le deuxieme plus gros gain a la télé FrançaisE. Le gain superieur à été attribué à la seule gagnante de "Qui veut gagner des millions"...

Écrit par : c64 | 11/02/2010

Et moi qui me casse le cul à imaginer des jeux avec un gameplay intéressant et original alors que 24 boites et un choix suffisent à satisfaire les foules.

C'est comme tous ces jeux de leveling sur facebook, c'est du pur conditionnement opérant. Étudier pour flatter nos instincts basiques.

Mais sur le long terme, on en ressort avec l'idée d'un grand vide, d'une embarrassante perte de temps.

J'aimerais tellement que la tendance bascule vers des systèmes plus réfléchis. Un jeu-vidéo, selon moi, devrait prodiguer non seulement du plaisir, mais également stimuler un plus grand nombre d'aspects cognitifs.

Pour l'instant, je trouve qu'en majeure partie les jeux se suivent et se ressemblent.
C'est dommage, car à l'heure actuelle nous avons réellement les moyens d'innover en la matière.

Je ne dis pas qu'il faudrait sans cesse faire du neuf, jouer à un bon FPS bien basique est parfois très jouissif, mais passer de pénibles minutes à choisir au hasard de bêtes boites en carton est pour moi encore moins réjouissant qu'un simple Memory (retrouver les cartes paires).

Enfin, cela n'enlève rien à l'intérêt du problème soulever on est d'accord.

Écrit par : Michael | 11/02/2010

@Arm Je suis bien d'accord que le jeu en lui même devient vite lassant, d'ailleurs je ne pense m^me pas les foules s'y soient trompé, puisque d'après ce que j'en ai lu, ils ont même du les donner en cadeau pour écouler les stocks (le jeu gratuit à l'achat d'un autre). Bon ce qui m'interresé, c'est plutôt l'approche mathematique, et les reactions du joueur face a ce problème (esperance mathematique, moyennes de gains, approche intuitive, implication du hasard, comparaison entre probabilité rèelles et esperance réelle a posteriori, incidence du comportement du banquier sur les probabilités de gains. etc... j'avoue que je n'y aurais pas joué plus que quelques parties, si je n'avais pas essayé d'observer le jeu d'une manière un peu differente par des essais comptabilisés en jouant de manière intuitive comme les candidats de l'emission, puis en comparant les resultats moyens en jouant d'une manière non-intuitive, mais mathematique, j'y ai vu plutôt la possibilité d'experiences interressantes...

Écrit par : c64 | 12/02/2010

Nous avons eu une discussion en ligne avec des amis programmeurs au sujet du paradoxe de Monthy Hall.
Bien qu'elle a tourné en longueur (un peu comme la page wikipedia anglaise sur ce problème) une personne du groupe est venue avec une excellente vision du problème.

Remplaçons les chèvres par des mines et jouons à un démineur aux règles un peu spéciales.

Celui-ci possède 100 cases dont 99 cachent des mines. L'ordinateur vous propose de choisir une case et révèle ensuite 98 autres cases minées. Jusque-là, vous avez toujours 1 chance sur 100 d'avoir bien choisi. Ensuite il vous propose de garder votre case ou de l'échanger avec l'unique case restante en jeu. Ce second choix vous offre alors 99% de réussite contre votre 1% initiale.

Écrit par : Michael | 19/02/2010

@michael C'est vrai que présenté comme ça, ça semble difficile à accepter de manière "intuitive". On aurait tendance à penser qu'a ce moment là, les chances sont de 50/50 alors qu'au départ elles etaient d'une sur cent. J'avais essayé de tester le "paradoxe de Monty Hall" avec des cartes à jouer (deux as et un jocker par exemple) et je les ai fait tirer à mon gamin selon le même principe. Et c'est vrai qu'on gagne réélement beaucoup plus souvent en changeant le tirage initial, alors que ça semble illogique au départ.

Écrit par : C64 | 19/02/2010

"Remplaçons les chèvres par des mines et jouons à un démineur aux règles un peu spéciales.

Celui-ci possède 100 cases dont 99 cachent des mines. L'ordinateur vous propose de choisir une case et révèle ensuite 98 autres cases minées. Jusque-là, vous avez toujours 1 chance sur 100 d'avoir bien choisi. Ensuite il vous propose de garder votre case ou de l'échanger avec l'unique case restante en jeu. Ce second choix vous offre alors 99% de réussite contre votre 1% initiale."

C'est effectivement vrai lorsque l'on revele 98 cases minees. Cependant, dans le jeu "a prendre ou a laisser", les boites sont ouvertes de maniere aleatoire et non choisie, ce qui finallement change tout. Les probas de la boite choisie varie donc en fonction des boites devoilees.

Écrit par : ben | 14/06/2010

Je suis retombé sur ce vieux billet un peu par hasard...
Et je relis le commentaire à propos des 100 cases minées, et des 98 cases révelées par l'ordinateur. Pour ce problème présenté par Michael, Je n'arrive pas à me décider si il est effectivement plus interressant de changer de case quand il en reste deux:

-A la première analyse, je me dis que comme il reste deux cases, les probabiltés sont de 50/50, donc qu'on n'a pas plus de chance de gagner en changeant de case.

-A la deuxième analyse, je me dis qu'au départ on avait une chance sur cent de choisir la bonne case, alors qu'après l'elimination de 98 mauvaises cases, les chances remontent à une chance sur deux, donc qu'il faut changer de case...

-A la troisième analyse, je me dis que les probabilités qu'une chose qui s'est déja produite se soit effectivement produite est de 100/100, c'est donc un évenement; plus une probabilité, donc l'ouverture des 98 cases ayant eu lieu, elles échappent au calcul (les combinatoires ???) et donc le changement de case n'apporte pas plus de chances....
Alors, personne pour une confirmation mathematique du problème ?

Écrit par : C64 | 08/01/2011

Par-contre, ce qui semble évident pour un candidat qui participerait réellement au jeu, c'est qu'il faut éviter d'annoncer qu'on choisit une boite pour une raison émotionnelle, parce qu'on éprouve un "fetichisme" quelconque" à propos du numero qu'elle porte et qu'on n'en changera pas. Le banquier pourrait en profiter pour moduler ses propositions financières à la baisse, surtout si la boite choisie est une "mauvaise boite", et qu'il sait dès le départ que vous la garderez...puisque son but est de vous éviter le gain d'une trop grosse somme...

Écrit par : c64 | 08/01/2011

Ce qui est assez surprenant, en jouant un grand nombre de partie en utilisant une tactique "ultra risquée", c'est que la moyenne des gains ne varie pas énormément. La production de l'emission sait donc dès le départ qu'elle sera la somme à débourser après un certain nombre d'émissions:
En effet, il y aura toujours un grand nombre de joueurs qui prendront tous les risques pour gagner LA grosse boite, un grand nombre d'entre eux repartira avec une petite somme qui compensera le gros gain du candidat chanceux. La tactique "mathematique" est donc interressante si on tiens compte qu'on aura une seule et unique chance de participer à l'émission, et donc d'éviter de faire partie du grand nombre de joueurs qui auront fait baisser la moyenne des gains simplement en acceptant la proposition du banquier dès qu'elle atteint cette moyenne. Cette tactique tombe évidemment à l'eau si on fait partie des très malchanceux qui ouvriront toutes les grosses boites dans la première série d'ouverture, voire dans la deuxième. Passé ce stade critique, si il reste une voire deux des grosses boites en jeu, l'espèrance moyenne est quasiment acquise...

Écrit par : c64 | 08/01/2011

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